它是唯一一类既处处负高斯曲率、又能用两族直线织成的二次曲面。 下方 3D 模型可实时旋转、缩放，并切换网格、直纹线、截线、等值线与高斯曲率着色。
取鞍点为原点、对称轴为 z 轴时，双曲抛物面有最简形式；右侧的乘法形式直接揭示了它的「直纹」本质。
标准型 x²/a² − y²/b² − z = 0 属不定号二次型（符号差为 +−），是二次曲面中唯一的「抛物型双曲面」。
沿一条开口向上的抛物线 z=x²/a² 平移一条开口向下的抛物线 z=−y²/b²，扫出的就是它。
关于 xOz、yOz 平面对称；关于 z 轴旋转 180° 对称（x→−x, y→−y 不变）。无旋转对称中心。
下面每条性质都能在上方 3D 场景里「看见」——勾选对应的显示开关即可对照。
原点处偏导全为 0：fx=fy=0；Hessian
diag(2/a², −2/b²) 的两个特征值一正一负。
因此原点不是极值点：沿 y=0 它是极小，沿 x=0 它是极大。这类点就叫鞍点。
K = −4 / [ a²b²·(1 + 4x²/a⁴ + 4y²/b⁴)² ] < 0
全平面为负，在原点处 |K| 最大 = 4/(a²b²)；离原点越远越平（|K|→0）。这类点称为双曲点。
主曲率满足 κ₁·κ₂ = K < 0，故 κ₁ 与 κ₂ 必然一个正、一个负——
这正是「一个方向凸、另一方向凹」的马鞍观感的数学本质。
两族直线都完全躺在曲面上（勾选「直纹线」）：
族 Ⅰ：x/a − y/b = p 族 Ⅱ：x/a + y/b = q
故可用纯直梁施工，是薄壳建筑的理想几何。
y=0 → 开口向上的抛物线 z=x²/a²；
x=0 → 开口向下的抛物线 z=−y²/b²；
两者互相垂直、曲率反向，构成马鞍的「十字骨架」。
z=c≠0 时是双曲线 x²/a² − y²/b² = c；
z=0 时退化为两条相交直线（正是过鞍点的那两条直纹）。
这是双曲抛物面最反直觉、也最有用的性质：明明是「弯」的曲面，却处处是「直」的。
令 u = x/a、v = y/b，则曲面变为 z = u² − v² = (u−v)(u+v)。把任一因子固定为常数：
曲面由两个「单参数直线族」构成；同族直线彼此异面（歪斜），异族直线则相交。
虽有直纹，却不可展平（K≠0）——不像圆柱/圆锥那样能摊平到平面，这正是它「既直又弯」的根源。
可以用笔直的钢梁/木条按两族方向铺设，即得到高刚度薄壳；施工与成本远优于双曲率复杂的曲面。
设 f(x,y) = x²/a² − y²/b²，逐项算出偏导即可得到全部曲率量。
(0,0) 处得最大值 |K| = 4/(a²b²)。
K < 0，必有 H² − K > H² ⟹ κ₁·κ₂ = K < 0，主曲率异号。
H ≠ 0）。极小曲面的代表是悬链面（catenoid）、螺旋面（helicoid）与 Scherk 曲面——它们 K ≤ 0 但 H ≡ 0。
最容易与双曲抛物面混淆的是单叶双曲面（同为负曲率、同为直纹面），但截口形状完全不同。
| 曲面 | 方程 | 水平截口 | 垂直截口 | 高斯曲率 | 直纹 |
|---|---|---|---|---|---|
| 双曲抛物面 | z = x²/a² − y²/b² |
双曲线（c=0 时为两条交线） | 抛物线（一上一下） | 处处 < 0 | 双直纹 |
| 单叶双曲面 | x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 |
椭圆（腰身最细） | 双曲线 | 既有 <0 也有 >0 区域 | 双直纹 |
| 椭圆抛物面 | z = x²/a² + y²/b² |
椭圆 | 抛物线（都向上） | 处处 > 0 | 非直纹 |
| 猴鞍面 | z = x³ − 3xy² |
三次曲线 | 三次曲线（三条「腿」） | 原点处 K = 0（退化鞍点） | 非直纹 |
| 双曲柱面 | x²/a² − y²/b² = 1 |
双曲线（沿 z 不变） | 直线 | K ≡ 0（可展） | 单直纹（母线） |
负高斯曲率 + 直纹性的组合，让它在建筑、结构与日常物品中反复出现。
马鞍形屋盖（hyperbolic paraboloid shell）是混凝土薄壳的经典形式：用直钢筋即可布筋，跨度大而自重轻。代表案例是 Félix Candela 的墨西哥城 Los Manantiales 餐厅。
双曲线形冷却塔、张拉膜结构的鞍形覆盖、体育场挑棚等，都利用负曲率处的双轴拉压受力优势（注意：冷却塔通常是单叶双曲面，与本题同类但不同面）。
薯片（Pringles）的曲面、部分座椅/头盔内衬、以及需要「刚而不塌」的薄板件，都近似双曲抛物面。
鞍点理论是凸优化与极小极大问题（minimax）的核心：梯度法在鞍点附近会停滞，因此有了动量、二阶方法等改进。
双曲不动点 / 双曲集（hyperbolic set）的线性化正是这种「一方向收缩、一方向扩张」的马鞍结构，是混沌理论的基石。
高维损失面的鞍点数量远多于局部极小，梯度下降逃离鞍点是深度学习优化研究的重要议题。